Höhere Mathematik 1

Alles, was danach kommt, wird an Funktionen ausgeführt. Wer hier Lücken hat, verliert sie später bei jeder Ableitung und jedem Integral doppelt.

Lineare Funktionen

Eine Gerade ist durch zwei Zahlen vollständig festgelegt: eine Steigung und einen Punkt. Deshalb reichen zwei Punkte, um sie zu bestimmen.

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) · Punkt-Steigungs-Form: y = y₀ + m·(x − x₀)

Die Punkt-Steigungs-Form ist schneller als der Umweg über y = mx + b, weil du b nicht extra ausrechnen musst. Steigung heißt immer „Höhenunterschied pro Schritt nach rechts“ – in Anwendungen also eine Rate: Euro pro Stunde, Meter pro Sekunde, Grad pro Minute. Zwei Geraden sind parallel bei gleichem m und stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt der Steigungen −1 ergibt.

Quadratische Funktionen

Drei Darstellungen derselben Parabel, jede für einen anderen Zweck:

Der Weg von der Normal- zur Scheitelpunktform ist die quadratische Ergänzung: a ausklammern, den halben x-Koeffizienten quadrieren, addieren und wieder abziehen. Genau diese Rechnung steckt in der pq-Formel – sie ist nur die einmal fertig durchgeführte quadratische Ergänzung.

pq-Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) · Vieta: x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q

Vieta ist ohne Taschenrechner Gold wert: bei x² − 7x + 12 suchst du zwei Zahlen mit Summe 7 und Produkt 12 – das sind 3 und 4, fertig, ohne Wurzel. Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl der reellen Nullstellen: positiv zwei, null eine doppelte, negativ keine reelle, aber zwei komplexe.

Eine Parabel ist durch drei Punkte eindeutig festgelegt, alternativ durch den Scheitel plus einen weiteren Punkt.

Polynome

• Grad n bedeutet höchstens n Nullstellen. Ein Polynom vom Grad n ist durch n+1 Punkte eindeutig festgelegt; das ist die Grundlage der Interpolation.
• Verhalten im Unendlichen bestimmt allein der führende Term. x⁵ − 1000x² geht für große x nach plus unendlich, egal wie groß der zweite Koeffizient ist. Bei geradem Grad laufen beide Enden in dieselbe Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte.
• Linearfaktor abspalten: ist x₀ eine Nullstelle, lässt sich (x − x₀) herausdividieren. Werkzeuge sind Polynomdivision oder Horner-Schema. Die erste Nullstelle musst du raten – probiere die Teiler des konstanten Glieds.
• Vielfachheit: gerade Vielfachheit heißt, der Graph berührt die x-Achse und kehrt um; ungerade heißt, er durchquert sie, bei Vielfachheit 3 mit waagerechtem Sattel.

Gebrochen rationale Funktionen

Zähler durch Nenner, beides Polynome. Entscheidend ist, was an den Nullstellen des Nenners passiert:

• Polstelle: Nenner null, Zähler nicht null. Senkrechte Asymptote, die Funktion läuft ins Unendliche. Bei ungerader Polordnung wechselt sie dabei das Vorzeichen, bei gerader nicht.
• Hebbare Lücke: Zähler und Nenner werden gleichzeitig null. Kürzen, es bleibt nur ein Loch im Graphen.
• Verhalten im Unendlichen: Zählergrad kleiner als Nennergrad ergibt y = 0; gleich groß ergibt eine waagerechte Asymptote als Quotient der Leitkoeffizienten; genau eins größer ergibt eine schräge Asymptote, die du per Polynomdivision bekommst.

Partialbruchzerlegung

Zerlegt einen komplizierten Bruch in eine Summe einfacher Brüche. In HM1 brauchst du sie zweimal: hier und später beim Integrieren, wo sie oft der einzige Weg zu einer Stammfunktion ist. Drei Fälle je nach Nenner:

einfache Nullstelle: A/(x−a) · k-fache: A₁/(x−a) + A₂/(x−a)² + … · nullstellenfrei: (Ax+B)/(x²+px+q)

Trigonometrische Funktionen

Zwei Sichtweisen, die du beide brauchst: am rechtwinkligen Dreieck über Gegenkathete durch Hypotenuse und am Einheitskreis. Nur die zweite erklärt, was der Sinus von 200 Grad überhaupt sein soll.

180° = π · sin²x + cos²x = 1 · sin(x±y) = sin x cos y ± cos x sin y

• Sinus ist ungerade, Cosinus gerade. Beide haben Periode 2π und Werte zwischen −1 und 1.
• Der Cosinus ist der um π/2 verschobene Sinus.
• Der Tangens ist Sinus durch Cosinus, hat Periode π und Polstellen bei π/2 plus Vielfachen von π.
• Ab hier wird immer im Bogenmaß gerechnet. Die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen gelten nur so.
• Die Werte bei 0, π/6, π/4, π/3 und π/2 solltest du auswendig können – ohne Taschenrechner unverzichtbar.

Potenzen, Exponential- und Logarithmusfunktion

aˣ·aʸ = aˣ⁺ʸ · (aˣ)ʸ = aˣʸ · a⁻ˣ = 1/aˣ · aˣ = e^(x·ln a) · ln(xy) = ln x + ln y · ln(xⁿ) = n ln x

Der Logarithmus ist das Werkzeug, um eine Variable aus dem Exponenten zu holen – der einzige Grund, warum man ihn in Anwendungen überhaupt braucht: Halbwertszeit, Verdopplungszeit, Abklingdauer.

Logarithmische Skalierung

Trägt man die y-Achse logarithmisch auf, wird aus einer Exponentialfunktion eine Gerade. Bei doppelt logarithmischer Achse wird aus einer Potenzfunktion eine Gerade, deren Steigung genau der Exponent ist. Genau deshalb sind Messdiagramme in der Technik so oft log-skaliert: man erkennt auf einen Blick, welchem Gesetz die Daten folgen.

Hyperbolische Funktionen

cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 · sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 · cosh²x − sinh²x = 1

Fast dieselben Regeln wie bei Sinus und Cosinus, nur mit einem Minuszeichen an anderer Stelle. Der Cosinus hyperbolicus beschreibt die Kettenlinie, also die Form eines frei hängenden Seils oder einer Freileitung.

Betragsfunktion

Der Betrag ist stückweise definiert. Jede Aufgabe mit Betrag löst du über eine Fallunterscheidung an den Stellen, an denen der Ausdruck im Betrag das Vorzeichen wechselt. Der Graph hat dort einen Knick – und Knicke sind später genau die Stellen ohne Ableitung.

Eigenschaften von Funktionen

• Symmetrie: f(−x) = f(x) heißt gerade und achsensymmetrisch, f(−x) = −f(x) heißt ungerade und punktsymmetrisch. Praktisch beim Integrieren: eine ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall integriert ergibt exakt null.
• Monotonie: streng monoton bedeutet injektiv und damit umkehrbar.
• injektiv: kein y-Wert wird zweimal getroffen. surjektiv: jeder Wert der Zielmenge wird getroffen. bijektiv: beides – und nur dann existiert eine Umkehrfunktion.

Surjektivität hängt von der gewählten Zielmenge ab. Die Quadratfunktion ist von den reellen in die reellen Zahlen nicht surjektiv, in die nichtnegativen Zahlen aber schon. Diese Feinheit wird gern geprüft.

Umkehrfunktionen

Der Graph der Umkehrfunktion ist die Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. So entstehen die Wurzelfunktionen durch Einschränkung auf nichtnegative x, die Arcus-Funktionen durch Einschränkung auf einen monotonen Ast und der Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion. Der Arcussinus bildet nach [−π/2, π/2] ab, der Arcuscosinus nach [0, π], der Arcustangens nach dem offenen Intervall von −π/2 bis π/2.

Funktionen modifizieren

Bei der Verkettung ist die Reihenfolge entscheidend: erst f dann g ist fast nie dasselbe wie umgekehrt. Und der Definitionsbereich umfasst nur die x, für die der innere Wert im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegt.

Die Zahlbereichserweiterung, die x² = −1 lösbar macht. In der Elektrotechnik ersetzt sie mühsames Rechnen mit Sinus-Phasen durch simple Multiplikation.

Zwei Darstellungen, zwei Zwecke

kartesisch: z = a + b·j · polar: z = r·e^(jφ) = r(cos φ + j sin φ)

In der Elektrotechnik schreibt man j statt i, weil i schon für den Strom vergeben ist. Beide Formen beschreiben denselben Punkt der Gaußschen Zahlenebene – einmal über Koordinaten, einmal über Länge und Winkel.

Merke dir das Bild: Multiplikation mit einer komplexen Zahl ist immer eine Drehstreckung. Multiplikation mit j ist reine Drehung um 90 Grad, Multiplikation mit −1 eine Drehung um 180 Grad.

Konjugation und Division

z̄ = a − b·j · z·z̄ = a² + b² = |z|² · |z| = √(a² + b²)

Das Produkt aus z und dem konjugiert Komplexen ist immer reell – darauf beruht die Division: mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern, dann wird der Nenner reell und man kann Real- und Imaginärteil ablesen. Nützlich außerdem: der Realteil ist der halbe Wert von z plus z̄, und z ist genau dann reell, wenn es mit seinem Konjugierten übereinstimmt.

Umrechnung – und der Quadrantenfehler

Rückwärts ist es einfacher: a ist r mal Cosinus φ, b ist r mal Sinus φ.

Potenzen, Wurzeln und der Fundamentalsatz

Moivre: zⁿ = rⁿ·e^(jnφ) · n-te Wurzeln: z_k = ⁿ√r · e^(j(φ + 2πk)/n), k = 0 … n−1

Die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl hat immer genau n Lösungen. Sie liegen gleichmäßig auf einem Kreis, jeweils um 2π/n gegeneinander verdreht – bei drei Lösungen also ein gleichseitiges Dreieck, bei vier ein Quadrat.

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt: jedes Polynom vom Grad n zerfällt über den komplexen Zahlen vollständig in n Linearfaktoren. Über den reellen Zahlen ist bei x² + 1 dagegen Schluss. Bei reellen Koeffizienten treten komplexe Nullstellen immer paarweise konjugiert auf – findest du 2 + 3j, ist 2 − 3j automatisch auch eine. Deshalb hat jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle.

Wozu das Ganze

In der Wechselstromtechnik wird jede sinusförmige Größe als Zeiger dargestellt. Phasenverschiebungen werden damit zu Multiplikationen, und aus Differenzialgleichungen werden algebraische Gleichungen. In Kapitel 3 taucht die Verbindung wieder auf: aus der Exponentialreihe mit imaginärem Argument fallen direkt die Reihen von Sinus und Cosinus heraus.

Hier wird zum ersten Mal ernsthaft mit dem Unendlichen gerechnet. Der Grenzwertbegriff, den du hier lernst, trägt den ganzen Rest der Analysis.

Folgen und Konvergenz

Eine Folge ordnet jeder natürlichen Zahl einen Wert zu – eine Funktion, die nur auf den natürlichen Zahlen definiert ist. Konvergenz heißt: ab irgendeinem Index bleiben alle Folgenglieder beliebig nah am Grenzwert. Formal gibt es zu jedem noch so kleinen Abstand einen Index, ab dem dieser Abstand unterschritten wird.

Standardgrenzwerte zum Auswendiglernen

Standardtrick bei Brüchen

Höchste Potenz von n in Zähler und Nenner ausklammern, kürzen, dann gehen alle Terme der Form 1 durch n gegen null und der Grenzwert steht da. Bei Wurzeldifferenzen hilft die Erweiterung mit der Summe der Wurzeln.

Rekursiv definierte Folgen

Ist bekannt, dass die Folge konvergiert, darfst du in der Rekursion auf beiden Seiten zum Grenzwert übergehen und die Fixpunktgleichung lösen. Die Konvergenz muss aber vorher gesichert sein, üblicherweise über Monotonie plus Beschränktheit. Sonst rechnest du einen Grenzwert aus, den es gar nicht gibt.

Uneigentliche Konvergenz heißt, die Folge läuft nach plus oder minus unendlich. Das ist streng genommen Divergenz, wird aber wie ein Grenzwert notiert.

Reihen

Eine Reihe ist der Grenzwert der Partialsummen. „Unendlich viele Zahlen addieren“ ist also nur eine Kurzformel für einen Folgengrenzwert.

endlich: Σ_(k=0)^(n) qᵏ = (1 − q^(n+1))/(1 − q) · unendlich, |q| < 1: 1/(1 − q)

• Geometrische Reihe – die wichtigste überhaupt: Zinseszins, Abschreibung, jedes exponentielle Aufsummieren.
• Harmonische Reihe divergiert, obwohl die Glieder gegen null gehen. Das ist das Gegenbeispiel, das du kennen musst.
• Teleskopsumme: aufeinanderfolgende Terme heben sich weg, übrig bleiben nur der erste und der letzte. Oft erst nach einer Partialbruchzerlegung sichtbar.
• Allgemein: die Summe über 1 durch k hoch α konvergiert genau für α größer 1. Bei α = 2 ist der Wert π²/6.

Kriterien

Notwendiges Kriterium: die Glieder müssen gegen null gehen. Gilt das nicht, ist die Reihe sicher divergent. Umgekehrt folgt daraus nichts.

Majorantenkriterium: lässt sich die Reihe nach oben durch eine konvergente Reihe abschätzen, konvergiert sie ebenfalls. Minorantenkriterium: lässt sie sich nach unten durch eine divergente Reihe abschätzen, divergiert sie ebenfalls. Praktisch heißt das immer: Term grob abschätzen und mit einer bekannten Reihe vergleichen. Für Konvergenz nach oben abschätzen, für Divergenz nach unten.

Potenzreihen

Funktionen als unendlich lange Polynome. Das ist der Grund, warum ein Rechner überhaupt einen Sinus berechnen kann – er summiert eine solche Reihe.

eˣ = Σ xᵏ/k! · sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … · cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …

Setzt man ein imaginäres Argument in die Exponentialreihe ein und sortiert nach Real- und Imaginärteil, fallen sofort die Reihen von Cosinus und Sinus heraus. Das ist der Beweis der Eulerschen Formel und die Brücke zurück zu Kapitel 2. Die Fakultät im Nenner wächst schneller als jede Potenz im Zähler – deshalb konvergieren diese Reihen so gut, dass wenige Glieder für hohe Genauigkeit reichen.

Auffällig: in der Sinusreihe stehen nur ungerade Potenzen, denn der Sinus ist ungerade; in der Cosinusreihe nur gerade. Die Reihen sind zugleich die Taylorreihen aus Kapitel 5 mit Entwicklungspunkt null.

Die Mathematik der Änderung – und der Teil des Stoffs, der in der Klausur am zuverlässigsten drankommt, meist mehrfach.

Grenzwerte bei Funktionen und Stetigkeit

Anders als bei Folgen kann man sich einer Stelle von zwei Seiten nähern. Der Grenzwert existiert nur, wenn linksseitiger und rechtsseitiger übereinstimmen. Bei 1/x an der Stelle null tun sie das nicht: von links läuft die Funktion nach minus unendlich, von rechts nach plus unendlich.

Stetig heißt, der Grenzwert existiert und stimmt mit dem Funktionswert überein – anschaulich, der Graph hat keine Sprünge. Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig, deshalb ist praktisch alles Elementare stetig. Zwei Folgerungen sind prüfungsrelevant:

• Zwischenwertsatz: eine stetige Funktion, die auf einem Intervall das Vorzeichen wechselt, hat dazwischen eine Nullstelle.
• Bisektionsverfahren: genau dieser Satz als Algorithmus. Intervall halbieren, die Hälfte mit Vorzeichenwechsel behalten, wiederholen. Langsam, aber es funktioniert immer – jeder Schritt halbiert den Fehler, etwa 3,3 Schritte pro Dezimalstelle.

Die Ableitung

f′(x₀) = lim_(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)]/h

Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Sekante durch zwei Punkte. Lässt man die Punkte zusammenrücken, wird daraus die Tangentensteigung. Drei Lesarten, die alle dasselbe meinen: Steigung des Graphen, momentane Änderungsrate, beste lineare Näherung.

Differenzierbarkeit zieht Stetigkeit nach sich, aber nicht umgekehrt: der Betrag ist bei null stetig, hat dort aber einen Knick und damit keine Ableitung.

Ableitungsregeln

Die Kettenregel ist mit Abstand die wichtigste. Vorgehen: erst benennen, was innen und was außen steht, dann äußere Ableitung mal innere Ableitung. Bei mehrfach geschachtelten Ausdrücken schrittweise von außen nach innen arbeiten.

(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ · (eˣ)′ = eˣ · (aˣ)′ = aˣ ln a · (ln x)′ = 1/x · (sin x)′ = cos x · (cos x)′ = −sin x

Für Ausdrücke wie x hoch x hilft logarithmisches Ableiten: erst den Logarithmus anwenden, dann implizit ableiten.

Kurvendiskussion

Merkhilfe für die Krümmung: positive zweite Ableitung heißt Linkskrümmung, der Graph ist nach oben geöffnet; negative heißt Rechtskrümmung.

Extremwertaufgaben

Immer nach demselben Muster: Zielgröße als Formel aufstellen, Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und einsetzen, sodass eine Funktion einer einzigen Variablen entsteht, dann ableiten. Am Ende die Randwerte des sinnvollen Definitionsbereichs mitprüfen – das Maximum kann am Rand liegen, wo die Ableitung gar nicht null ist.

Regel von de l’Hospital

nur bei 0/0 oder ∞/∞: lim f/g = lim f′/g′

Zähler und Nenner werden getrennt abgeleitet – das ist keine Quotientenregel. Andere unbestimmte Formen musst du erst umbauen: null mal unendlich als Bruch schreiben, unendlich minus unendlich auf einen Hauptnenner bringen, Ausdrücke mit Exponenten über den Logarithmus behandeln. Und immer vorher prüfen, dass wirklich ein unbestimmter Ausdruck vorliegt. Bei Bedarf darf man die Regel mehrfach hintereinander anwenden.

Newton-Verfahren

x_(n+1) = x_n − f(x_n)/f′(x_n)

Geometrisch: Tangente anlegen, ihre Nullstelle als nächsten Näherungswert nehmen. Deutlich schneller als Bisektion – in der Nähe der Nullstelle verdoppelt sich die Zahl der korrekten Stellen etwa pro Schritt. Dafür kann es bei schlechtem Startwert oder verschwindender Ableitung auch danebengehen. Merke: Bisektion ist langsam, aber sicher; Newton ist schnell, aber wählerisch.

Taylor-Polynome

T_n(x) = Σ_(k=0)^(n) f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ

Die Idee: eine komplizierte Funktion in der Nähe eines Punktes durch ein Polynom ersetzen, das dort denselben Wert, dieselbe Steigung, dieselbe Krümmung und so weiter hat. Das Taylor-Polynom ersten Grades ist genau die Tangente, das zweiten Grades die Schmiegeparabel.

Deshalb darf man in der Physik den Sinus für kleine Winkel durch den Winkel selbst ersetzen, etwa beim Fadenpendel. Wichtig: die Näherung ist lokal. Weit weg vom Entwicklungspunkt wird sie beliebig schlecht.

Aufsummieren unendlich vieler unendlich kleiner Beiträge – und, wie sich herausstellt, die Umkehrung des Ableitens.

Woher das Integral kommt

Man legt Rechtecke unter die Kurve, summiert ihre Flächen und lässt die Breite gegen null gehen. Das ist die Riemannsche Zwischensumme. Ober- und Untersumme klammern das Ergebnis von beiden Seiten ein; nähern sie sich demselben Wert, ist die Funktion integrierbar. Jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ist es.

Wichtig für die Interpretation: das Integral zählt Flächen mit Vorzeichen. Unterhalb der x-Achse liefert es negative Beiträge. Weitere Rechenregeln: das Integral ist linear, es lässt sich in Teilintervalle zerlegen, und das Vertauschen der Grenzen dreht das Vorzeichen.

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), wobei F′ = f

Das ist die zentrale Aussage des Kapitels: statt mühsam Grenzwerte von Summen zu berechnen, reicht es, eine Stammfunktion zu finden. Ableiten und Integrieren sind zueinander invers. Beim unbestimmten Integral gehört immer die Integrationskonstante dazu, weil Konstanten beim Ableiten verschwinden.

Uneigentliche Integrale

Zwei Fälle: der Integrationsbereich ist unbeschränkt, oder die Funktion ist am Rand unbeschränkt. Beides behandelt man über eine variable Grenze und einen Grenzwert. Interessant: eine unendlich lange Fläche kann endlichen Inhalt haben. Das Integral von 1/x² ab 1 bis unendlich ergibt 1, während das von 1/x divergiert – dieselbe Grenze wie bei den Reihen.

Symmetrie ausnutzen

Ist die Funktion ungerade und das Intervall symmetrisch zur Null, ist das Integral exakt null – ohne jede Rechnung. Ist sie gerade, ist es das Doppelte des halben Intervalls. Das spart in der Klausur Zeit und Fehler.

Die drei Integrationstechniken

Ein Sonderfall lohnt sich auswendig: steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, ist das Ergebnis der Logarithmus vom Betrag des Nenners – eine Zeile, fertig. Ebenso die lineare Substitution: eine innere Funktion der Form ax + b bringt nur einen Faktor 1/a ins Ergebnis.

Anwendungen

• Fläche zwischen zwei Kurven: erst die Schnittpunkte bestimmen, dann obere minus untere Funktion integrieren. Bei mehreren Schnittpunkten abschnittsweise rechnen, sonst löschen sich positive und negative Anteile gegenseitig aus.
• Mittelwert einer Funktion: Integral geteilt durch Intervalllänge – etwa für den Effektivwert einer Wechselspannung.
• Von der Rate zur Menge: Zuflussrate integriert ergibt Volumen, Geschwindigkeit integriert ergibt Weg, ein progressiver Steuersatz integriert ergibt die Steuerlast. Immer dasselbe Prinzip.
• Numerische Integration: wenn keine Stammfunktion existiert, nähert man mit Rechteck-, Trapez- oder Simpson-Regel.

Rechnen mit Größen, die eine Richtung haben – und der Punkt, an dem die Vorlesung von der Analysis zur linearen Algebra wechselt.

Vektorräume

Ein Vektor ist zunächst nur ein Objekt, das man addieren und mit Zahlen strecken kann. Das gilt für Pfeile im Raum, aber genauso für Polynome, Matrizen oder Funktionen. Diese Abstraktion ist der eigentliche Gewinn des Kapitels.

• Linearkombination: Summe aus gestreckten Vektoren – alles, was sich aus gegebenen Vektoren bauen lässt.
• Linear unabhängig: die einzige Linearkombination, die den Nullvektor ergibt, ist die mit lauter Nullen. Anschaulich: kein Vektor lässt sich aus den anderen zusammensetzen. In der Ebene heißt das nicht parallel, im Raum bei drei Vektoren nicht in einer gemeinsamen Ebene.
• Erzeugendensystem: jeder Vektor des Raums ist als Linearkombination darstellbar.
• Basis: beides zusammen. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension und immer gleich, egal welche Basis man wählt.

Die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit führt praktisch immer auf ein lineares Gleichungssystem – deshalb kommt direkt danach das Gauß-Verfahren.

Skalarprodukt

⟨a,b⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a|·|b|·cos φ

Aus diesen beiden Gleichungen folgt alles Weitere:

• Länge: die Wurzel aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst.
• Abstand zweier Punkte: die Länge des Differenzvektors.
• Winkel: der Cosinus ist das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Längen.
• Orthogonalität: Skalarprodukt null – der schnellste Rechtwinkligkeitstest, den es gibt.
• Projektion: die Komponente des einen Vektors in Richtung des anderen. Physikalisch ist Arbeit genau das Skalarprodukt aus Kraft und Weg: nur der Anteil der Kraft in Wegrichtung zählt.

Das Ergebnis ist immer eine Zahl, nie ein Vektor – daher der Name. Es ist kommutativ und erfüllt die Ungleichung von Cauchy und Schwarz.

Vektorprodukt

Gibt es in dieser Form nur im dreidimensionalen Raum. Das Ergebnis ist ein Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht; die Orientierung liefert die Rechte-Hand-Regel.

|a × b| = |a|·|b|·sin φ = Fläche des aufgespannten Parallelogramms

• Die Dreiecksfläche ist das halbe Parallelogramm.
• Vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Vorzeichen um. Anders als beim Skalarprodukt ist das Kreuzprodukt nicht kommutativ.
• Sind beide Vektoren parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor. Das ist zugleich ein Parallelitätstest.
• Das Spatprodukt liefert das Volumen des von drei Vektoren aufgespannten Körpers. Ist es null, liegen die drei in einer Ebene und sind linear abhängig.

Faustregel für die Klausur: geht es um Winkel oder Rechtwinkligkeit, nimm das Skalarprodukt. Geht es um „senkrecht dazu“, um Flächen oder Normalenvektoren, nimm das Kreuzprodukt.

Geraden und Ebenen

Der Normalenvektor entsteht aus den beiden Richtungsvektoren per Kreuzprodukt – das ist der Übergang von der Parameter- zur Normalenform. Umgekehrt liest man aus der Koordinatenform den Normalenvektor direkt an den Koeffizienten ab. Aus drei Punkten baust du eine Ebene, indem du Differenzvektoren als Richtungen nimmst.

Schnittprobleme laufen alle auf ein lineares Gleichungssystem hinaus, und die Anzahl der Lösungen sagt dir das Ergebnis: eine Lösung heißt Schnittpunkt, keine heißt parallel, unendlich viele heißen enthalten beziehungsweise identisch. Bei zwei Geraden im Raum gibt es zusätzlich den Fall windschief – kein Schnittpunkt, aber auch nicht parallel.

Funktionen als Vektoren

Der abstrakte Höhepunkt des Kapitels: definiert man das Skalarprodukt zweier Funktionen als Integral über ihr Produkt, funktionieren Länge, Winkel und Orthogonalität genauso wie bei Pfeilen.

⟨f,g⟩ = ∫ f(x)·g(x) dx

In diesem Sinn stehen Sinus und Cosinus senkrecht aufeinander. Genau darauf baut die Fourier-Analyse auf: ein Signal wird in orthogonale Schwingungen zerlegt, exakt wie ein Vektor in Basisrichtungen. Dieselbe Idee steckt hinter der Approximation von Funktionen durch Polynome.

Viele lineare Gleichungen auf einmal lösen – und dieselben Zahlenschemata als Beschreibung geometrischer Abbildungen lesen.

Lineare Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem lässt sich kompakt als Matrix mal Vektor gleich rechte Seite schreiben. Für die Rechnung nimmt man die erweiterte Koeffizientenmatrix und arbeitet nur noch mit Zahlen – die Variablennamen sind überflüssig, solange die Spaltenreihenfolge stimmt.

Die drei möglichen Ausgänge

• Keine Lösung: es entsteht eine Zeile, die null gleich einer Zahl ungleich null behauptet. Geometrisch: Ebenen ohne gemeinsamen Punkt.
• Genau eine Lösung: jede Variable hat ein Pivotelement.
• Unendlich viele: mindestens eine freie Variable. Die Lösungsmenge ist eine spezielle Lösung plus alle Lösungen des homogenen Systems.

Das homogene System mit rechter Seite null ist immer lösbar – der Nullvektor geht immer. Die eigentliche Frage ist nur, ob es weitere Lösungen gibt. Bei mehr Unbekannten als Gleichungen hat ein homogenes System stets nichttriviale Lösungen.

Matrizenrechnung

• Addition und Skalarmultiplikation: elementweise, nur bei gleichem Format.
• Multiplikation: Zeile mal Spalte. Die Spaltenzahl der ersten Matrix muss gleich der Zeilenzahl der zweiten sein. Das Ergebnis hat so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite.
• Nicht kommutativ: die Reihenfolge zählt. Oft ist ein Produkt sogar nur in einer Reihenfolge überhaupt definiert.
• Transponierte: Zeilen und Spalten tauschen. Beim Produkt dreht sich die Reihenfolge um.
• Einheitsmatrix: Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen. Sie verändert bei der Multiplikation nichts.
• Symmetrisch heißt, die Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein.

Matrizen als lineare Abbildungen

Die anschaulichste Sicht: die Spalten einer Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren. Willst du wissen, was eine Matrix tut, schau nach, wohin sie die Einheitsvektoren schickt. So baut man Dreh-, Spiegelungs- und Projektionsmatrizen auf, und die Matrixmultiplikation ist nichts anderes als das Hintereinanderausführen zweier Abbildungen. Damit ist auch klar, warum die Reihenfolge zählt: erst drehen und dann spiegeln ergibt etwas anderes als umgekehrt.

Inverse Matrix

Nur für quadratische Matrizen, und auch dann nicht immer. Die Inverse macht die Abbildung rückgängig. Berechnung mit dem Gauß-Jordan-Verfahren: schreibe die Matrix neben die Einheitsmatrix und forme so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht – rechts steht dann die Inverse. Beim Invertieren eines Produkts dreht sich die Reihenfolge um. Für zweireihige Matrizen gibt es eine Direktformel mit der Determinante im Nenner.

Determinanten

2×2: det = ad − bc · 3×3: Regel von Sarrus

• Bedeutung: eine Determinante ungleich null ist gleichbedeutend mit: die Matrix ist invertierbar, das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, die Spalten sind linear unabhängig. Vier Aussagen, ein Kriterium.
• Geometrisch: der Betrag der Determinante ist der Faktor, um den die Abbildung Flächen oder Volumina verändert. Determinante null heißt, alles wird plattgedrückt und Information geht verloren – deshalb gibt es keine Umkehrung.
• Rechenregeln: Zeilentausch dreht das Vorzeichen; das Vielfache einer Zeile zu einer anderen zu addieren ändert nichts; multipliziert man eine Zeile mit einem Faktor, wächst die Determinante um denselben Faktor; die Determinante eines Produkts ist das Produkt der Determinanten; Transponieren ändert nichts; bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente.

Der letzte Punkt ist der praktische Weg für größere Matrizen: erst mit Gauß auf Dreiecksform bringen, das Vorzeichen bei jedem Zeilentausch mitzählen, dann die Diagonale multiplizieren.

Schreib diese Formeln von Hand ab, statt sie abzufotografieren. Genau beim Abschreiben und Sortieren merkst du dir, was wo hingehört.

Funktionen und Algebra

Gerade: y = y₀ + m(x − x₀), m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) pq: x = −p/2 ± √((p/2)² − q) · abc: x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) Vieta: x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q binomisch: (a±b)² = a² ± 2ab + b² · (a+b)(a−b) = a² − b² Potenzen: aˣaʸ = aˣ⁺ʸ · (aˣ)ʸ = aˣʸ · a^(1/n) = ⁿ√a · a⁻ˣ = 1/aˣ Log: ln(xy) = ln x + ln y · ln(x/y) = ln x − ln y · ln(xⁿ) = n ln x cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 · sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 · cosh² − sinh² = 1

Trigonometrie

sin²x + cos²x = 1 · tan x = sin x / cos x sin(x±y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x±y) = cos x cos y ∓ sin x sin y sin 2x = 2 sin x cos x · cos 2x = cos²x − sin²x sin bei 0, π/6, π/4, π/3, π/2 = 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 arcsin → [−π/2, π/2] · arccos → [0, π] · arctan → (−π/2, π/2)

Komplexe Zahlen

z = a + bj = r·e^(jφ), r = √(a² + b²), a = r cos φ, b = r sin φ Euler: e^(jφ) = cos φ + j sin φ · z̄ = a − bj · z·z̄ = |z|² z₁z₂ = r₁r₂·e^(j(φ₁+φ₂)) · z₁/z₂ = (r₁/r₂)·e^(j(φ₁−φ₂)) zⁿ = rⁿe^(jnφ) · Wurzeln: ⁿ√r·e^(j(φ+2πk)/n), k = 0 … n−1

Folgen und Reihen

qⁿ → 0 für |q| < 1 · ⁿ√n → 1 · n^k/aⁿ → 0 · (1 + x/n)ⁿ → eˣ Σ_(k=0)^(n) qᵏ = (1 − q^(n+1))/(1 − q) · Σ_(k=0)^(∞) qᵏ = 1/(1 − q) Σ1/k divergiert · Σ1/k^α konvergiert für α > 1 · Σ1/k² = π²/6 eˣ = Σ xᵏ/k! · sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … · cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …

Ableitungen

(u·v)′ = u′v + uv′ · (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² · Kette: äußere mal innere (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ · (√x)′ = 1/(2√x) · (1/x)′ = −1/x² (eˣ)′ = eˣ · (aˣ)′ = aˣ ln a · (ln x)′ = 1/x (sin)′ = cos · (cos)′ = −sin · (tan)′ = 1/cos²x (arcsin)′ = 1/√(1−x²) · (arctan)′ = 1/(1+x²) Tangente: t(x) = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) Newton: x_(n+1) = x_n − f(x_n)/f′(x_n) Taylor: T_n(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!·(x − x₀)ᵏ

Integrale

∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) für n ≠ −1 · ∫1/x dx = ln|x| · ∫eˣ dx = eˣ ∫sin x dx = −cos x · ∫cos x dx = sin x · ∫1/(1+x²) dx = arctan x ∫ f′/f dx = ln|f| · ∫ f(ax+b) dx = F(ax+b)/a partiell: ∫u′v dx = uv − ∫uv′ dx Substitution: u = g(x), du = g′(x)dx, Grenzen mitwandeln Mittelwert: Integral geteilt durch Intervalllänge · Fläche: ∫(oben − unten)

Vektoren und Matrizen

⟨a,b⟩ = Σ aᵢbᵢ = |a||b| cos φ · |a| = √⟨a,a⟩ · senkrecht ⟺ ⟨a,b⟩ = 0 |a × b| = |a||b| sin φ = Parallelogrammfläche · a × b = −b × a Spatprodukt = Volumen · gleich null ⟺ linear abhängig Gerade: x = p + t·u · Ebene: ⟨n, x − p⟩ = 0 · n = u × v (AB)ᵀ = BᵀAᵀ · (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ · det(AB) = det A · det B 2×2: det = ad − bc

Denk die Antwort zuerst vollständig durch. Der Lerneffekt entsteht beim Abrufen, nicht beim Lesen.

Diese Paare sind die inhaltlichen Brücken des Kurses. Wer sie kennt, sieht in der Klausur schneller, welches Werkzeug gefragt ist.

Kreuze nur an, was du begründen könntest. Genau das trainiert die Ankreuzaufgaben der Klausur, bei denen Raten bestraft wird.

In der Klausur steht nie dabei, welche Technik gefragt ist. Diese Zuordnung von Aussehen zu Verfahren musst du selbst mitbringen.

Fast alle Punktverluste stammen aus einer kurzen Liste immer gleicher Fehler. Geh sie vor der Klausur einmal durch.

Die Klausur prüft Rechenfertigkeit von Hand. Wer ein Verfahren nur verstanden hat, es aber nicht flüssig ausführt, wird zeitlich nicht fertig.

• Aufbau: zwei Teile mit je 90 Minuten Bearbeitungszeit. In den Altklausuren umfasste Teil 1 die Aufgaben 1 bis 8 und Teil 2 die Aufgaben 9 bis 15, jeweils 80 Punkte, dazu einige Bonuspunkte.
• Hilfsmittel: ein beidseitig handbeschriebenes DIN-A4-Blatt. Kein Taschenrechner.
• Abdeckung: kumulativ über den gesamten Stoff – Funktionen skizzieren, komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Ableiten, Integrieren, Vektoren, Matrizen.
• Enthaltungspunkte: bei Ankreuzaufgaben gibt es die Option „weiß ich nicht“. Blindes Raten wird bestraft, ehrliches Auslassen nicht.
• Aufgabenstil: manche Teilaufgaben verlangen ausdrücklich keine Begründung. Dort keine Zeit mit Rechenwegen verschwenden – überall sonst den Weg aufschreiben, weil es dafür Teilpunkte gibt.
• Zeitgefühl: 80 Punkte in 90 Minuten heißt gut eine Minute pro Punkt. Bleib nirgends hängen, markiere die Aufgabe und komm später zurück.

Wichtig: diese Angaben stammen aus Altklausuren früherer Jahrgänge. Prüfe Dauer, Hilfsmittel und Termin für dein Semester über die offizielle Ankündigung.

Rechne von Hand, von Anfang an

Ohne Taschenrechner musst du Brüche, Wurzeln, Potenzregeln und den Gauß-Algorithmus sicher beherrschen. Diese Sicherheit entsteht nur durch Wiederholung. Rechne die Übungsblätter vollständig auf Papier – Lösungsvideos anzusehen fühlt sich produktiv an, ersetzt das Üben aber nicht.

Erst selbst, dann die Lösung

Löse jede Aufgabe zuerst selbst, auch wenn du unsicher bist. Der Moment, in dem du merkst, wo du hängst, ist der eigentliche Lerneffekt – in der Musterlösung wirkt hinterher alles logisch, und genau dieses Gefühl täuscht.

Nutze Visualisierungen für Intuition

Wenn du am Schieberegler siehst, wie sich das Taylor-Polynom mit steigendem Grad an die Funktion anschmiegt oder wie die Riemannsche Zwischensumme zur Fläche wird, verstehst du in zwei Minuten, was zwei Seiten Text nicht schaffen. Besonders lohnend sind Newton-Verfahren, Taylor-Polynom, Ober- und Untersumme, Vektorprodukt und lineare Abbildung.

Schreib das A4-Blatt früh und selbst

Das Formelblatt ist selbst schon eine Lernmethode. Wer den Stoff auf eine Seite verdichten muss, entscheidet ständig, was wichtig ist. Fang spätestens vier Wochen vorher an und überarbeite es, sobald du beim Üben merkst, dass etwas fehlt. Ein abgeschriebenes Blatt nützt in der Klausur wenig, weil du darauf nichts wiederfindest. Die Formelsammlung weiter oben ist der Rohstoff dafür.

Simuliere die Klausur

Probeklausuren unter echten Bedingungen: Stoppuhr, kein Handy, nur dein eigenes Blatt. Erst danach die Musterlösung. Das trainiert die Zeiteinteilung und deckt genau die Lücken auf, die beim entspannten Üben unsichtbar bleiben.

Arbeite mit den Relevanz-Hinweisen

In jedem Wochenplan steht explizit, welche Sätze nicht geprüft werden. Das ist ein Geschenk – nutze es, um deine Energie zu lenken. Markiere die betreffenden Passagen im Buch, dann liest du sie in der Prüfungsphase nicht versehentlich doch.

Bleib am Ball, der Stoff baut aufeinander auf

Die Partialbruchzerlegung aus Woche 1 brauchst du in Woche 11 wieder. Die Kettenregel aus Woche 8 steckt in jeder Substitution. Die komplexen Zahlen aus Woche 4 tauchen bei den Potenzreihen erneut auf, und das Gauß-Verfahren aus Woche 13 löst rückwirkend die Schnittprobleme aus Woche 12. Wer ein Kapitel liegen lässt, zahlt später doppelt.